कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 16$ , $(4, 8)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = 8$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}) = \frac{d}{d x} (16)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

चरण 1.2.2.3

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

चरण 1.2.2.4

$\frac{2}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

चरण 1.2.2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

चरण 1.2.2.5.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $\frac{1}{8}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{y^{2}}{8}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$x + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 1.2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$x + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x + \frac{1}{8} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$x + \frac{1}{8} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x + \frac{1}{8} (2 y y')$

चरण 1.2.3.4

$2$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$x + \frac{2}{8} (y y')$

चरण 1.2.3.5

$y$ और $\frac{2}{8}$ को मिलाएं.

$x + \frac{y \cdot 2}{8} y'$

चरण 1.2.3.6

$\frac{y \cdot 2}{8}$ और $y'$ को मिलाएं.

$x + \frac{y \cdot 2 y'}{8}$

चरण 1.2.3.7

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x + \frac{2 \cdot y y'}{8}$

चरण 1.2.3.8

$2$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.8.1

$2 y y'$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x + \frac{2 (y y')}{8}$

चरण 1.2.3.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.8.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

चरण 1.2.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

चरण 1.2.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x + \frac{y y'}{4}$

चरण 1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x + \frac{y y'}{4} = 0$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\frac{y y'}{4} = - x$

चरण 1.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करें.

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

चरण 1.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

चरण 1.5.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y y' = 4 (- x)$

चरण 1.5.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y y' = - 4 x$

चरण 1.5.4

$y y' = - 4 x$ के प्रत्येक पद को $y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$y y' = - 4 x$ के प्रत्येक पद को $y$ से विभाजित करें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

चरण 1.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

चरण 1.5.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

चरण 1.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

चरण 1.7

$x = 4$ और $y = 8$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$- \frac{4 (4)}{y}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $8$ से बदलें.

$- \frac{4 (4)}{8}$

चरण 1.7.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

चरण 1.7.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

चरण 1.7.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{4}{2}$

चरण 1.7.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 \cdot 2}{2}$

चरण 1.7.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

चरण 1.7.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

चरण 1.7.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2}{1}$

चरण 1.7.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1 \cdot 2$

चरण 1.7.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 2$ और दिए गए बिंदु $(4, 8)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (8) = - 2 \cdot (x - (4))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2 \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 8 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 8 = - 2 x - 2 \cdot - 4$

चरण 2.3.1.4

$- 2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$y - 8 = - 2 x + 8$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$y = - 2 x + 8 + 8$

चरण 2.3.2.2

$8$ और $8$ जोड़ें.

$y = - 2 x + 16$

चरण 3