कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

परिमेय घातांकों के साथ बाएँ पक्ष को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

चरण 1.1.2

$\sqrt[3]{y^{4}}$ को $y^{\frac{4}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

चरण 1.2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

चरण 1.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

चरण 1.3.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

चरण 1.3.2.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

चरण 1.3.2.3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

चरण 1.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

चरण 1.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

चरण 1.3.2.5.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

चरण 1.3.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

चरण 1.3.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{4}{3}$ है.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

चरण 1.3.3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

चरण 1.3.3.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

चरण 1.3.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

चरण 1.3.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

चरण 1.3.3.6.2

$4$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

चरण 1.3.3.7

$\frac{4}{3}$ और $y^{\frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

चरण 1.3.3.8

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ और $y'$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

चरण 1.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

चरण 1.3.4.2

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

चरण 1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

चरण 1.6

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

गुणनखंडों को $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

चरण 1.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ घटाएं.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{3}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.6.4

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.1.1

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.1.1.1

जोड़ना.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.6.4.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.6.4.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.6.4.1.1.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.6.4.1.1.5

$y' y^{\frac{1}{3}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.6.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.2.1

$\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.2.1.1.1

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.6.4.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.6.4.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.6.4.2.1.2

$\frac{1}{4}$ को $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ से गुणा करें.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.6.4.2.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.6.5

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ के प्रत्येक पद को $y^{\frac{1}{3}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.5.1

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ के प्रत्येक पद को $y^{\frac{1}{3}}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

चरण 1.6.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

चरण 1.6.5.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

चरण 1.6.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.5.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

चरण 1.6.5.3.2

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ को $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

चरण 1.6.5.3.3

$4$ को $y^{\frac{1}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.7

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.8

$x = 1$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.8.2

व्यंजक में चर $y$ को $1$ से बदलें.

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.8.3

घातांक जोड़कर ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ को ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.3.1

${(1)}^{\frac{2}{3}}$ ले जाएं.

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

चरण 1.8.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

चरण 1.8.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

चरण 1.8.3.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

चरण 1.8.3.5

$3$ को $3$ से विभाजित करें.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

चरण 1.8.4

$4 \cdot 1^{1}$ को सरल करें.

$- \frac{1}{4}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \frac{1}{4}$ और दिए गए बिंदु $(1, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.4

$x$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.5

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

चरण 2.3.1.5.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

चरण 2.3.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

चरण 2.3.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

चरण 2.3.2.4

$1$ और $4$ जोड़ें.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

चरण 2.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

चरण 3