कैलकुलस उदाहरण

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

चरण 1

${(1 + h)}^{4} - 1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

चरण 2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

${(1 + h)}^{4}$ को ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

चरण 2.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

चरण 2.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = {(1 + h)}^{2}$ और $b = 1$ .

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

${(1 + h)}^{2}$ को $(1 + h) (1 + h)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + h) (1 + h)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.3.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.3.1.2

$h$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.3.1.3

$h$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.3.1.4

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.3.2

$h$ और $h$ जोड़ें.

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

चरण 2.1.4.6

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

चरण 2.1.4.7

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1 + h$ और $b = 1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

चरण 2.1.4.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

चरण 2.1.4.8.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

चरण 2.1.4.8.3

$h$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

चरण 2.2

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

चरण 2.2.2

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ को $1$ से विभाजित करें.

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

चरण 2.3

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ का प्रसार करें.

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

चरण 2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

घातांक जोड़कर $h^{2}$ को $h$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

$h^{2}$ को $h$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1.1

$h$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

चरण 2.4.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

चरण 2.4.1.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

चरण 2.4.2

$2$ को $h^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

चरण 2.4.3

घातांक जोड़कर $h$ को $h$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

$h$ ले जाएं.

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

चरण 2.4.3.2

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

चरण 2.4.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

चरण 2.4.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

चरण 2.5

$2 h^{2}$ और $2 h^{2}$ जोड़ें.

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

चरण 2.6

$4 h$ और $2 h$ जोड़ें.

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$