कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{4} + 2 e^{x}$ , $(0, 2)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = 2$ पर मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1

अवकलन करें.

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चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$4 x^{3} + 2 e^{x}$

चरण 1.3

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$4 {(0)}^{3} + 2 e^{0}$

चरण 1.4

सरल करें.

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चरण 1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 1.4.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$4 \cdot 0 + 2 e^{0}$

चरण 1.4.1.2

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 2 e^{0}$

चरण 1.4.1.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$0 + 2 \cdot 1$

चरण 1.4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 2$

चरण 1.4.2

$0$ और $2$ जोड़ें.

$2$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

ढलान $2$ और दिए गए बिंदु $(0, 2)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (2) = 2 \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 2 = 2 \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

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चरण 2.3.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - 2 = 2 x$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$y = 2 x + 2$

चरण 3