कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

चरण 1

अनन्तस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x \leq 0$

चरण 1.2

चूँकि $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ और $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 0$

चरण 1.3

लघुगणक को अनदेखा करते हुए, परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 1.4

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 3$

चरण 1.5

चूंकि $n = m$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट $y = \frac{a}{b}$ है जहां $a = 64$ और $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

चरण 1.6

लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय फलनों के लिए कोई तिरछी अनंतस्पर्शी मौजूद नहीं है.

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 1.7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = \frac{64}{3}$

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = \frac{64}{3}$

चरण 2

$x = 1$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

चरण 2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

चरण 2.2.2

$4$ और $1$ जोड़ें.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

चरण 2.2.3

$5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

चरण 2.2.4

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

चरण 2.2.5

$125$ को $0$ से गुणा करें.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

चरण 2.2.6

$\frac{1}{3}$ को $0$ से गुणा करें.

$f (1) = 0$

चरण 2.2.7

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 2.3

$0$ को दशमलव में बदलें.

$y = 0$

चरण 3

$x = 2$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

चरण 3.2.2

$4$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

चरण 3.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

चरण 3.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

चरण 3.2.4.2

$8$ और $1$ जोड़ें.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

चरण 3.2.5

उत्पाद नियम को $\frac{9}{2}$ पर लागू करें.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

चरण 3.2.6

$9$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

चरण 3.2.7

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

चरण 3.2.8

$\frac{729}{8}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{729}{8} \ln (2)$ को सरल करें.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

चरण 3.2.9

$\frac{1}{3}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ को सरल करें.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

चरण 3.2.10

घातांक को ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.10.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

चरण 3.2.10.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.10.2.1

$729$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

चरण 3.2.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

चरण 3.2.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

चरण 3.2.11

अंतिम उत्तर $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ है.

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

चरण 3.3

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$ को दशमलव में बदलें.

$y = 21.0543456$

चरण 4

$x = 3$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

चरण 4.2.2

$4$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

चरण 4.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

चरण 4.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

चरण 4.2.4.2

$12$ और $1$ जोड़ें.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

चरण 4.2.5

उत्पाद नियम को $\frac{13}{3}$ पर लागू करें.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

चरण 4.2.6

$13$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

चरण 4.2.7

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

चरण 4.2.8

$\frac{2197}{27}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{2197}{27} \ln (3)$ को सरल करें.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

चरण 4.2.9

$\frac{1}{3}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ को सरल करें.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

चरण 4.2.10

घातांक को ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.10.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

चरण 4.2.10.2

$\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.10.2.1

$\frac{2197}{27}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

चरण 4.2.10.2.2

$27$ को $3$ से गुणा करें.

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

चरण 4.2.11

अंतिम उत्तर $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ है.

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

चरण 4.3

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ को दशमलव में बदलें.

$y = 29.79816294$

चरण 5

लघुगणक फलन को $x = 0$ पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

चरण 6