कैलकुलस उदाहरण

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

चरण 1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

चरण 2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (2 x)$ को सरल करें.

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

चरण 2.1.1.2

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

चरण 2.1.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

चरण 2.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

चरण 2.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

चरण 2.1.4

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

चरण 2.1.4.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

चरण 2.1.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

चरण 2.1.4.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

चरण 2.1.5

$4$ को $16$ से गुणा करें.

$\ln (64 x^{3}) = 0$

चरण 3

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

चरण 4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (64 x^{3}) = 0$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{0} = 64 x^{3}$

चरण 5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $64 x^{3} = e^{0}$ के रूप में फिर से लिखें.

$64 x^{3} = e^{0}$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $e^{0}$ घटाएं.

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

चरण 5.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

चरण 5.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$64 x^{3} - 1 = 0$

चरण 5.4

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$64 x^{3}$ को ${(4 x)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

चरण 5.4.2

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

चरण 5.4.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = 4 x$ और $b = 1$ हैं.

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

चरण 5.4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.1

उत्पाद नियम को $4 x$ पर लागू करें.

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

चरण 5.4.4.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

चरण 5.4.4.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

चरण 5.4.4.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

चरण 5.5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

चरण 5.6

$4 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$4 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 x - 1 = 0$

चरण 5.6.2

$x$ के लिए $4 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$4 x = 1$

चरण 5.6.2.2

$4 x = 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.1

$4 x = 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

चरण 5.6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

चरण 5.6.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{4}$

चरण 5.7

$16 x^{2} + 4 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$16 x^{2} + 4 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

चरण 5.7.2

$x$ के लिए $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 5.7.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 16$ , $b = 4$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.3.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.3.1.2.1

$- 4$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.2.2

$- 64$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.3

$16$ में से $64$ घटाएं.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.4

$- 48$ को $- 1 (48)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.7

$48$ को $4^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.3.1.7.1

$48$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.7.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.1.9

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

चरण 5.7.2.3.2

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

चरण 5.7.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

चरण 5.7.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

चरण 5.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$