कैलकुलस उदाहरण

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

चरण 1

असमानता के दोनों पक्षों से $\frac{3}{2}$ घटाएं.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$8 x^{3}$ को ${(2 x)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.1.2

$27$ को $3^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = 2 x$ और $b = 3$ हैं.

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.4.1

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.1.4.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.1.4.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.1.4.4

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ है और जिसका योग $b = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.2.1.2

$- 1$ को $2$ जोड़ $- 3$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $x + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.3

$2 x - 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.2

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

चरण 2.3

$- \frac{3}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + 1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

चरण 2.4

प्रत्येक व्यंजक को $(x + 1) \cdot 2$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

चरण 2.4.2

$\frac{3}{2}$ को $\frac{x + 1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.4.3

$(x + 1) \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.6.2.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.6.2.3

$9$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.6.4

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.6.5

$12 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 2.6.6

$18$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

चरण 3

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर रखकर और उसे हल करके ऐसे सभी मान पता करें जहाँ व्यंजक नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तित होता है.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 4

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 5

द्विघात सूत्र में $a = 8$ , $b = 9$ और $c = 15$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

चरण 6.1.2

$- 4 \cdot 8 \cdot 15$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$- 4$ को $8$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

चरण 6.1.2.2

$- 32$ को $15$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

चरण 6.1.3

$81$ में से $480$ घटाएं.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

चरण 6.1.4

$- 399$ को $- 1 (399)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

चरण 6.1.5

$\sqrt{- 1 (399)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

चरण 6.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

चरण 6.2

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

चरण 7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

चरण 8

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 9

प्रत्येक गुणनखंड के लिए उन मानों को प्राप्त करने के लिए हल करें जहां निरपेक्ष मान व्यंजक ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

चरण 10

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$2 (x + 1) = 0$

चरण 10.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$2 (x + 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

$2 (x + 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 10.2.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 10.2.1.2.1.2

$x + 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$x + 1 = \frac{0}{2}$

चरण 10.2.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x + 1 = 0$

चरण 10.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 10.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

चरण 11

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x < - 1$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

असमानता रूप:

$x < - 1$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 1)$

चरण 13