कैलकुलस उदाहरण

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

चरण 1

$e^{2 x}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

चरण 2

$u$ को $e^{x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

चरण 3

$u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 3 u + 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $2$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 2, - 1$

चरण 3.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

चरण 3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

चरण 3.3

$u - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$u - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 2 = 0$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$u = 2$

चरण 3.4

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 1 = 0$

चरण 3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$u = 1$

चरण 3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(u - 2) (u - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 2, 1$

चरण 4

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $2$ को प्रतिस्थापित करें.

$2 = e^{x}$

चरण 5

$2 = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $e^{x} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = 2$

चरण 5.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

चरण 5.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (2)$

चरण 5.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (2)$

चरण 5.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (2)$

चरण 6

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $1$ को प्रतिस्थापित करें.

$1 = e^{x}$

चरण 7

$1 = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण को $e^{x} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = 1$

चरण 7.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

चरण 7.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (1)$

चरण 7.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (1)$

चरण 7.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (1)$

चरण 7.4

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$x = 0$

चरण 8

उन हलों की सूची बनाइए जो समीकरण को सत्य बनाते हैं.

$x = \ln (2), 0$

चरण 9

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

चरण 10

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

अंतराल $x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

अंतराल $x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 2$

चरण 10.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

चरण 10.1.3

बाईं ओर $1.61230978$ दाईं ओर $0$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 10.2

अंतराल $0 < x < \ln (2)$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

अंतराल $0 < x < \ln (2)$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0.35$

चरण 10.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0.35$ से बदलें.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

चरण 10.2.3

बाईं ओर $- 0.24344993$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 10.3

अंतराल $x > \ln (2)$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

अंतराल $x > \ln (2)$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 3$

चरण 10.3.2

मूल असमानता में $x$ को $3$ से बदलें.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

चरण 10.3.3

बाईं ओर $345.17218272$ दाईं ओर $0$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 10.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < 0$ गलत

$0 < x < \ln (2)$ सही

$x > \ln (2)$ गलत

$x < 0$ गलत

$0 < x < \ln (2)$ सही

$x > \ln (2)$ गलत

चरण 11

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$0 < x < \ln (2)$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

असमानता रूप:

$0 < x < \ln (2)$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \ln (2))$

चरण 13