कैलकुलस उदाहरण

$\ln (\frac{3 x + 1}{3 x - 1})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ से बदलें.

$\frac{1}{\frac{3 x + 1}{3 x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

चरण 2

$\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 \frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

चरण 3

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

चरण 4

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 3 x + 1$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.6.2

$3$ को $3 x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 \cdot (3 x - 1) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.8

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.9

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.10

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.11

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.12

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.12.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.12.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.12.3

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ को $\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ में से $3 x - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

चरण 6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

चरण 6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

चरण 7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$3 (3 x)$ में से $3 (3 x)$ घटाएं.

$\frac{3 \cdot - 1 + 0 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

चरण 7.3.1.2

$3 \cdot - 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3 \cdot - 1 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

चरण 7.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

चरण 7.3.2.2

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 - 3}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

चरण 7.3.3

$- 3$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{- 6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

चरण 7.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$