कैलकुलस उदाहरण

${(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ और $g (x) = x^{2} - 2 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 2 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{2}{3}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 2 x - 1$ से बदलें.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 5.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 6.2

$\frac{2}{3}$ और ${(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

चरण 7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 9

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 11

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 12

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 + 0)$

चरण 13

$2 x - 2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2)$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x - 2) \frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 14.2

$2 x - 2$ को $\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x - 2) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 14.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$2 x - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(2 (x) - 2) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 14.3.1.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 14.3.1.3

$2 (x) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x - 1) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 14.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$