कैलकुलस उदाहरण

$(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ

$f (x) = 4 x + 1$ और

$g (x) = {(1 - x)}^{3}$ है.

$(4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = x^{3}$ और

$g (x) = 1 - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u$ को

$1 - x$ के रूप में सेट करें.

$(4 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$

$n u^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 3$ है.

$(4 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को

$1 - x$ से बदलें.

$(4 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$3$ को

$4 x + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \cdot (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$1 - x$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 3.3

चूंकि

$x$ के संबंध में

$1$ स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$1$ का व्युत्पन्न

$0$ है.

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 3.4

$0$ और

$\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 3.5

चूंकि

$- 1$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$- x$ का व्युत्पन्न

$- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 3.6

$- 1$ को

$3$ से गुणा करें.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 3.8

$- 3$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 3.9

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$4 x + 1$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.10

चूंकि

$4$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$4 x$ का व्युत्पन्न

$4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.12

$4$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.13

चूंकि

$x$ के संबंध में

$1$ स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$1$ का व्युत्पन्न

$0$ है.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + 0)$

चरण 3.14

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.1

$4$ और

$0$ जोड़ें.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \cdot 4$

चरण 3.14.2

$4$ को

${(1 - x)}^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + 4 \cdot {(1 - x)}^{3}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(- 3 (4 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

चरण 4.2

$4$ को

$- 3$ से गुणा करें.

$(- 12 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

चरण 4.3

$- 3$ को

$1$ से गुणा करें.

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

चरण 4.4

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$ में से

${(1 - x)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ में से

${(1 - x)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + 4 {(1 - x)}^{3}$

चरण 4.4.2

$4 {(1 - x)}^{3}$ में से

${(1 - x)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$

चरण 4.4.3

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$ में से

${(1 - x)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.5

${(1 - x)}^{2}$ को

$(1 - x) (1 - x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 - x) (1 - x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.6

FOIL विधि का उपयोग करके

$(1 - x) (1 - x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.7

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.1

$1$ को

$1$ से गुणा करें.

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.7.1.2

$- x$ को

$1$ से गुणा करें.

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.7.1.3

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$(1 - x - x - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.7.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.7.1.5

घातांक जोड़कर

$x$ को

$x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.5.1

$x$ ले जाएं.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.7.1.5.2

$x$ को

$x$ से गुणा करें.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.7.1.6

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.7.1.7

$x^{2}$ को

$1$ से गुणा करें.

$(1 - x - x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.7.2

$- x$ में से

$x$ घटाएं.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

चरण 4.8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- x))$

चरण 4.8.2

$4$ को

$1$ से गुणा करें.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 + 4 (- x))$

चरण 4.8.3

$- 1$ को

$4$ से गुणा करें.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 - 4 x)$

चरण 4.9

$- 12 x$ में से

$4 x$ घटाएं.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x - 3 + 4)$

चरण 4.10

$- 3$ और

$4$ जोड़ें.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$

चरण 4.11

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$ का प्रसार करें.

$1 (- 16 x) + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1

$- 16 x$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 16 x + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.2

$1$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 16 x + 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.4

घातांक जोड़कर

$x$ को

$x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.4.1

$x$ ले जाएं.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.4.2

$x$ को

$x$ से गुणा करें.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.5

$- 2$ को

$- 16$ से गुणा करें.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.6

$- 2$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.7

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.8

घातांक जोड़कर

$x^{2}$ को

$x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.8.1

$x$ ले जाएं.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.8.2

$x$ को

$x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.8.2.1

$x$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.8.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.8.3

$1$ और

$2$ जोड़ें.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2} \cdot 1$

चरण 4.12.9

$x^{2}$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2}$

चरण 4.13

$- 16 x$ में से

$2 x$ घटाएं.

$- 18 x + 1 + 32 x^{2} - 16 x^{3} + x^{2}$

चरण 4.14

$32 x^{2}$ और

$x^{2}$ जोड़ें.

$- 18 x + 1 - 16 x^{3} + 33 x^{2}$