कैलकुलस उदाहरण

$t \sqrt{2 t + 1}$

चरण 1

$\sqrt{2 t + 1}$ को ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d t} [t {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$t \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ और $g (t) = 2 t + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 t + 1$ के रूप में सेट करें.

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t + 1$ से बदलें.

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$t (\frac{{(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$t (\frac{1}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 8.4

$\frac{1}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $t$ को मिलाएं.

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [2 t + 1] + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 t + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 10

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 12

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d t} [1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 13

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 14

पदों को सरल करें.

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चरण 14.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 14.2

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{t \cdot 2}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 14.3

$2$ को $t$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 14.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 14.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{t}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 15

$\frac{t}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

चरण 16

${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 17

${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{t}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19

घातांक जोड़कर ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{1}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20

${(2 t + 1)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{t + 2 t + 1}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21

$t$ और $2 t$ जोड़ें.

$\frac{3 t + 1}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$