कैलकुलस उदाहरण

$y = 4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$

चरण 1

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$ है.

$4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = e^{4 t} - e^{t}$ है.

$4 (e^{t} \frac{d}{d t} [e^{4 t} - e^{t}] + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 3

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $e^{4 t} - e^{t}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ है.

$4 (e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 4 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 t$ के रूप में सेट करें.

$4 (e^{t} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$4 (e^{t} (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 t$ से बदलें.

$4 (e^{t} (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (e^{t} (e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 5.3.2

$4$ को $e^{4 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 (e^{t} (4 \cdot e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 5.4

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- e^{t}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ है.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - \frac{d}{d t} [e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 6

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ $a^{t} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 7

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

चरण 8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + e^{4 t} e^{t} - e^{t} e^{t})$

चरण 8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t})) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

घातांक जोड़कर $e^{t}$ को $e^{4 t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.1

$e^{4 t}$ ले जाएं.

$4 (e^{4 t} e^{t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 (e^{4 t + t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.1.3

$4 t$ और $t$ जोड़ें.

$4 (e^{5 t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.2

$4$ को $e^{5 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 (4 \cdot e^{5 t}) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.3

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.4

घातांक जोड़कर $e^{t}$ को $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.4.1

$e^{t}$ ले जाएं.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} e^{t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t + t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.4.3

$t$ और $t$ जोड़ें.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{2 t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.5

$- 1$ को $e^{2 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$16 e^{5 t} + 4 (- 1 \cdot e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.6

$- 1 e^{2 t}$ को $- e^{2 t}$ के रूप में फिर से लिखें.

$16 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.7

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.8

घातांक जोड़कर $e^{4 t}$ को $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.8.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{4 t + t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.8.2

$4 t$ और $t$ जोड़ें.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

चरण 8.4.9

घातांक जोड़कर $e^{t}$ को $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.9.1

$e^{t}$ ले जाएं.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- (e^{t} e^{t}))$

चरण 8.4.9.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t + t})$

चरण 8.4.9.3

$t$ और $t$ जोड़ें.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t})$

चरण 8.4.10

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} - 4 e^{2 t}$

चरण 8.4.11

$16 e^{5 t}$ और $4 e^{5 t}$ जोड़ें.

$20 e^{5 t} - 4 e^{2 t} - 4 e^{2 t}$

चरण 8.4.12

$- 4 e^{2 t}$ में से $4 e^{2 t}$ घटाएं.

$20 e^{5 t} - 8 e^{2 t}$