कैलकुलस उदाहरण

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

चूंकि $\frac{c}{b - a}$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ का व्युत्पन्न $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ है.

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $e^{- a t} - e^{- b t}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ है.

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = - a t$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- a t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- a t$ से बदलें.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $- a$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- a t$ का व्युत्पन्न $- a \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

चरण 3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

चरण 3.4

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- e^{- b t}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ है.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = - b t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- b t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- b t$ से बदलें.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $- b$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- b t$ का व्युत्पन्न $- b \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

चरण 5.2

गुणा करें.

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चरण 5.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

चरण 5.2.2

$e^{- b t}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

चरण 5.3

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

चरण 5.4

$b$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

चरण 6.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

चरण 6.3

$- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ को $\frac{c}{b - a}$ से गुणा करें.

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

चरण 6.4

$- e^{- a t} a$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

चरण 6.5

$e^{- b t} b$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

चरण 6.6

$- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

चरण 6.7

$- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ को $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

चरण 6.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

चरण 6.9

गुणनखंडों को $- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$