कैलकुलस उदाहरण

$e^{4 x} + e^{- x}$

चरण 1

$e^{4 x} + e^{- x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{4 x} + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.1.2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.1.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.1.2.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.1.2.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.1.2.5

$4$ को $e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.1.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.1.1.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.1.1.3.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.1.3.3

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

चरण 2.1.1.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

चरण 2.1.1.3.5

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

चरण 2.1.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 e^{4 x} - e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 e^{4 x}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2.2.2

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2.3

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2.4

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2.6

$4$ को $e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2.7

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

चरण 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{- x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.2.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.1.2.3.2.2

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.1.2.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.1.2.3.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.1.2.3.4

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

चरण 2.1.2.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

चरण 2.1.2.3.6

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

चरण 2.1.2.3.7

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

चरण 2.1.2.3.8

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

चरण 2.1.2.3.9

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $16 e^{4 x} + e^{- x}$ है.

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

चरण 2.2.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

कोई हल नहीं

चरण 3

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4

ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक है.

ग्राफ अवतल ऊपर है

चरण 5