कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (3 t e^{- t})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \ln (t)$ और $g (t) = 3 t e^{- t}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 t e^{- t}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 t e^{- t}$ से बदलें.

$\frac{1}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

चरण 2

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t e^{- t}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ है.

$\frac{1}{3 t e^{- t}} (3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}])$

चरण 2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$3$ और $\frac{1}{3 t e^{- t}}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

चरण 2.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

चरण 2.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = e^{- t}$ है.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = - t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- t$ से बदलें.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5.3.2

$- 1$ को $e^{- t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5.3.3

$- 1 e^{- t}$ को $- e^{- t}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5.4

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

चरण 5.5

$e^{- t}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t})) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

चरण 6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$t$ और $\frac{1}{t e^{- t}}$ को मिलाएं.

$\frac{t}{t e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

चरण 6.2.2

$\frac{t}{t e^{- t}}$ और $e^{- t}$ को मिलाएं.

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

चरण 6.2.3

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

चरण 6.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

चरण 6.2.4

$e^{- t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

चरण 6.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

चरण 6.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

चरण 6.2.6

$\frac{1}{t e^{- t}}$ और $e^{- t}$ को मिलाएं.

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

चरण 6.2.7

$e^{- t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

चरण 6.2.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 + \frac{1}{t}$

चरण 6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{t} - 1$