कैलकुलस उदाहरण

$f (v) = 9 \sqrt{v (1 - e^{v})}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{v (1 - e^{v})}$ को ${v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d v} [9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $9$ , $v$ के संबंध में स्थिर है, $v$ के संबंध में $9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ $f' (g (v)) g' (v)$ है, जहाँ $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ और $g (v) = v (1 - e^{v})$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $v (1 - e^{v})$ के रूप में सेट करें.

$9 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$9 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $v (1 - e^{v})$ से बदलें.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 8

$\frac{1}{2}$ और ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$9 (\frac{{v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$9 (\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

चरण 10

$\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ और $9$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$

चरण 11

$\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ और $\frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$ को मिलाएं.

$\frac{9 \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$