कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{8}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ $f' (g (w)) g' (w)$ है, जहाँ $f (w) = w^{8}$ और $g (w) = \frac{1}{w^{3} - 1}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{1}{w^{3} - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{8}] \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 8$ है.

$8 {u_{1}}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{w^{3} - 1}$ से बदलें.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

चरण 2

$\frac{1}{w^{3} - 1}$ को ${(w^{3} - 1)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [{(w^{3} - 1)}^{- 1}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ $f' (g (w)) g' (w)$ है, जहाँ $f (w) = w^{- 1}$ और $g (w) = w^{3} - 1$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $w^{3} - 1$ के रूप में सेट करें.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $w^{3} - 1$ से बदलें.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

चरण 4.2

योग नियम के अनुसार, $w$ के संबंध में $w^{3} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]$ है.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ $n w^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [- 1]))$

चरण 4.4

चूंकि $w$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $w$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + 0))$

चरण 4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.5.1

$3 w^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2}))$

चरण 4.5.2

$3$ को ${(w^{3} - 1)}^{- 2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (3 \cdot {(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

चरण 4.5.3

$3$ को $- 8$ से गुणा करें.

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

चरण 5.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{w^{3} - 1}$ पर लागू करें.

$- 24 \frac{1^{7}}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

चरण 5.3

पदों को मिलाएं.

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चरण 5.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 24 \frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

चरण 5.3.2

$- 24$ और $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

चरण 5.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

चरण 5.3.4

$\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ और $w^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} \cdot \frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$

चरण 5.3.5

$\frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ को $\frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ से गुणा करें.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2} {(w^{3} - 1)}^{7}}$

चरण 5.3.6

घातांक जोड़कर ${(w^{3} - 1)}^{2}$ को ${(w^{3} - 1)}^{7}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.6.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2 + 7}}$

चरण 5.3.6.2

$2$ और $7$ जोड़ें.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

चरण 5.3.7

$24$ को $w^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

चरण 5.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1^{3})}^{9}}$

चरण 5.4.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = w$ और $b = 1$ हैं.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2}))}^{9}}$

चरण 5.4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$w$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2}))}^{9}}$

चरण 5.4.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1))}^{9}}$

चरण 5.4.4

उत्पाद नियम को $(w - 1) (w^{2} + w + 1)$ पर लागू करें.

$- \frac{24 w^{2}}{{(w - 1)}^{9} {(w^{2} + w + 1)}^{9}}$