कैलकुलस उदाहरण

$\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$

चरण 1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = 18 t^{2} - 9 t + 2$ और $g (t) = {(1 - 4 t)}^{3}$ है.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घातांक को ${({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{3 \cdot 2}}$

चरण 3.1.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $18 t^{2} - 9 t + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]$ है.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 3.3

चूंकि $18$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $18 t^{2}$ का व्युत्पन्न $18 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 3.5

$2$ को $18$ से गुणा करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 3.6

चूंकि $- 9$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 9 t$ का व्युत्पन्न $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 3.8

$- 9$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 3.9

चूंकि $t$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + 0) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 3.10

$36 t - 9$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{3}$ और $g (t) = 1 - 4 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - 4 t$ के रूप में सेट करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - 4 t$ से बदलें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 {(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 5.2

${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ में से ${(1 - 4 t)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9)$ में से ${(1 - 4 t)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 5.2.2

$- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ में से ${(1 - 4 t)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 5.2.3

${(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))$ में से ${(1 - 4 t)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

चरण 6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

${(1 - 4 t)}^{6}$ में से ${(1 - 4 t)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 7

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 - 4 t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ है.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 8

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (0 + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 9

$0$ और $\frac{d}{d t} [- 4 t]$ जोड़ें.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [- 4 t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 10

चूंकि $- 4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 4 t$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (- 4 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 11

$- 4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 12

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \cdot 1}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 13

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 13.2

$2$ और $\frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2))}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2}) + 12 (- 9 t) + 12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 - 4 t) (36 t - 9)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (1 (36 t - 9) - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.2.1.1

$36 t$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (36 t + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.2.1.2

$- 9$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.2.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t \cdot t - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.2.1.4

घातांक जोड़कर $t$ को $t$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.2.1.4.1

$t$ ले जाएं.

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 (t \cdot t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.2.1.4.2

$t$ को $t$ से गुणा करें.

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.2.1.5

$- 4$ को $36$ से गुणा करें.

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.2.1.6

$- 9$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} + 36 t) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.2.2

$36 t$ और $36 t$ जोड़ें.

$\frac{2 (72 t - 9 - 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (72 t) + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.4.1

$72$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{144 t + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.4.2

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$\frac{144 t - 18 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.4.3

$- 144$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.5

$18$ को $12$ से गुणा करें.

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (216 t^{2}) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.6

$216$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.7

$- 9$ को $12$ से गुणा करें.

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (- 108 t) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.8

$- 108$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.9

$2 (12 \cdot 2)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.9.1

$12$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 \cdot 24}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.1.9.2

$2$ को $24$ से गुणा करें.

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.2

$144 t$ में से $216 t$ घटाएं.

$\frac{- 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.3

$- 18$ और $48$ जोड़ें.

$\frac{- 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.3.4

$- 288 t^{2}$ और $432 t^{2}$ जोड़ें.

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

चरण 14.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

चरण 14.5

$144 t^{2} - 72 t + 30$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

$144 t^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 (24 t^{2}) - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

चरण 14.5.2

$- 72 t$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

चरण 14.5.3

$30$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

चरण 14.5.4

$6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

चरण 14.5.5

$6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t + 5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$