कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{3}}{9} \cdot (3 \ln (x - 1))$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$3$ और $\frac{x^{3}}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3}}{9} \cdot \ln (x - 1)]$

चरण 1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\frac{3 x^{3}}{9}$ और $\ln (x - 1)$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} \ln (x - 1)}{9}]$

चरण 1.2.2

$3$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$3 x^{3} \ln (x - 1)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{9}]$

चरण 1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

चरण 1.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

चरण 1.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}]$

चरण 1.3

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \ln (x - 1)$ है.

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{x - 1}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 4.5.2

$\frac{x^{3}}{x - 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 4.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) (3 x^{2}))$

चरण 5

$\ln (x - 1) (3 x^{2})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x - 1}{x - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \frac{\ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1})$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 7

$\frac{1}{3}$ को $\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{x^{3} + 3 \ln (x - 1) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2.1.2

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (x - 1)$ को सरल करें.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} x + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2.1.4

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x \cdot x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2.1.4.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x^{1} x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2.1.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{1 + 2} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2.1.4.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2.1.5

$- 1$ को $\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - 1 \cdot (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2.1.6

$- 1 (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ को $- (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.2.2

गुणनखंडों को $x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

चरण 8.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x - 3}$