कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$

चरण 1

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$ को ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 + e^{- x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $1 + e^{- x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{- x}$ से बदलें.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ जोड़ें.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.2.2

${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot 1$

चरण 5.4

${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

चरण 6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

चरण 6.3

$e^{- x}$ और $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$