कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{1 - e^{x}}$

चरण 1

$\frac{1}{1 - e^{x}}$ को ${(1 - e^{x})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{- 1}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 - e^{x}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - e^{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - e^{x}$ से बदलें.

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ है.

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ जोड़ें.

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

चरण 3.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 3.5

गुणा करें.

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चरण 3.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 {(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 3.5.2

${(1 - e^{x})}^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

${(1 - e^{x})}^{- 2} e^{x}$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(1 - e^{x})}^{2}} e^{x}$

चरण 5.2

$\frac{1}{{(1 - e^{x})}^{2}}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$