कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

चरण 1

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ को ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 5 x + 6$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 5 x + 6$ से बदलें.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 5 x + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 3.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 3.5

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

चरण 3.7

$2 x + 5$ और $0$ जोड़ें.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

चरण 4.2

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

चरण 4.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

चरण 4.5

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

चरण 4.6

भाजक को सरल करें.

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चरण 4.6.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 5 x + 6$ का गुणनखंड करें.

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चरण 4.6.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $6$ है और जिसका योग $5$ है.

$2, 3$

चरण 4.6.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.6.2

उत्पाद नियम को $(x + 2) (x + 3)$ पर लागू करें.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 4.7

$- 2 x - 5$ को $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 4.8

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 4.9

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 4.10

$- (2 x) - 1 (5)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 4.11

$- (2 x + 5)$ को $- 1 (2 x + 5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 4.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$