कैलकुलस उदाहरण

$\frac{2 x^{2} - 8}{x^{2} - 16}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 x^{2} - 8$ और $g (x) = x^{2} - 16$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8] - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$4 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.6.2

$4$ को $x^{2} - 16$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ है.

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.8

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.10.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.2

$4$ को $- 16$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.3.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.4

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.1.5

$- 2$ को $- 8$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.2

$4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$4 x^{3}$ में से $4 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{- 64 x + 0 + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.2.2

$- 64 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 64 x + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.5.3

$- 64 x$ और $16 x$ जोड़ें.

$\frac{- 48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3.7

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

चरण 3.7.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 4$ .

$- \frac{48 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

चरण 3.7.3

उत्पाद नियम को $(x + 4) (x - 4)$ पर लागू करें.

$- \frac{48 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$