कैलकुलस उदाहरण

$\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

चूंकि $\frac{1}{h}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$ है.

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में ${(x + h)}^{5} - x^{5}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ है.

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = x + h$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + h$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$\frac{1}{h} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + h$ से बदलें.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + h$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ है.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $h$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $h$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

चरण 3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

चरण 3.4.2

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

चरण 3.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{5}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - \frac{d}{d x} [x^{5}])$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - (5 x^{4}))$

चरण 3.7

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4})$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4}) + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.2.1

$5$ और $\frac{1}{h}$ को मिलाएं.

$\frac{5}{h} {(x + h)}^{4} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

चरण 4.2.2

$\frac{5}{h}$ और ${(x + h)}^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

चरण 4.2.3

$- 5$ और $\frac{1}{h}$ को मिलाएं.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5}{h} x^{4}$

चरण 4.2.4

$\frac{- 5}{h}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5 x^{4}}{h}$

चरण 4.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} - \frac{5 x^{4}}{h}$

चरण 4.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4}}{h}$

चरण 4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 5 x^{4} + 5 {(x + h)}^{4}}{h}$