कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln ({(x^{2} + 1)}^{3})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x^{2} + 1)}^{3}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x^{2} + 1)}^{3}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$3$ और $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 3.2

पदों को सरल करें.

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चरण 3.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ और $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 3.2.2

$3$ को ${(x^{2} + 1)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 3.2.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ और ${(x^{2} + 1)}^{3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

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चरण 3.2.3.1

$3 {(x^{2} + 1)}^{2}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 3.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.1

${(x^{2} + 1)}^{3}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 3.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 3.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{3}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

चरण 3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x)$

चरण 3.6.2

$2$ और $\frac{3}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 3}{x^{2} + 1} x$

चरण 3.6.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6}{x^{2} + 1} x$

चरण 3.6.4

$\frac{6}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{6 x}{x^{2} + 1}$