कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} + 10 x + 25$ और $g (x) = {(x + 5)}^{2}$ है.

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{({(x + 5)}^{2})}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घातांक को ${({(x + 5)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{2 \cdot 2}}$

चरण 2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 10 x + 25$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ है.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 2.4

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $10 x$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 2.6

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $25$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $25$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + 0) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 2.8

$2 x + 10$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x + 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 5$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 u \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 5$ से बदलें.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 4

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 4.2

${(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ में से $x + 5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

${(x + 5)}^{2} (2 x + 10)$ में से $x + 5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 4.2.2

$- 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ में से $x + 5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 4.2.3

$(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))$ में से $x + 5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

चरण 5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${(x + 5)}^{4}$ में से $x + 5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

चरण 5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

चरण 5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 7

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 8

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 9.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 5) (2 x + 10)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (2 x + 10) + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.2.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.2.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.2.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.2.1.3

$10$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 x^{2} + 10 \cdot x + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.2.1.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.2.1.5

$5$ को $10$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.2.2

$10 x$ और $10 x$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.3

$10$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.1.4

$- 2$ को $25$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.2

$2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$2 x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{20 x + 50 + 0 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.2.2

$20 x + 50$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{20 x + 50 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.2.3

$20 x$ में से $20 x$ घटाएं.

$\frac{0 + 50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.2.4

$0$ और $50$ जोड़ें.

$\frac{50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.2.2.5

$50$ में से $50$ घटाएं.

$\frac{0}{{(x + 5)}^{3}}$

चरण 10.3

$0$ को ${(x + 5)}^{3}$ से विभाजित करें.

$0$