कैलकुलस उदाहरण

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x^{2} - x + \frac{1}{x}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x^{2} - x + \frac{1}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x + \frac{1}{x}]$

चरण 1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x + \frac{1}{x}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x^{2} - x + \frac{1}{x}$ से बदलें.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x + \frac{1}{x}]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} - x + \frac{1}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 2.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 2.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 2.7.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 2.7.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 - x^{- 2})$

चरण 3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 - \frac{1}{x^{2}})$