कैलकुलस उदाहरण

$e^{x} \sin (4 x)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \sin (4 x)$ है.

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$e^{x} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{x} (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{x} (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.3.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x} (\cos (4 x) \cdot 4) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 3.3.2

$4$ को $\cos (4 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{x} (4 \cdot \cos (4 x)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{x} (4 \cos (4 x)) + \sin (4 x) e^{x}$

चरण 5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 e^{x} \cos (4 x) + e^{x} \sin (4 x)$