कैलकुलस उदाहरण

$\ln ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 8 x^{3} - 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $8 x^{3} - 3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $8 x^{3} - 3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 8

$\frac{1}{2}$ और ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

चरण 10

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

चरण 11

घातांक जोड़कर ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

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चरण 11.1

${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

चरण 11.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

चरण 11.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

चरण 11.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

चरण 11.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

चरण 12

$2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

चरण 13

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x^{3} - 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ है.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 14

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{3}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 16

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 17

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 18

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \cdot 1)$

चरण 19

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

चरण 20

सरल करें.

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चरण 20.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2 (8 x^{3}) + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

चरण 20.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 20.2.1

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16 x^{3} + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

चरण 20.2.2

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$

चरण 20.3

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{16 x^{3} - 6 x}$

चरण 20.4

$16 x^{3} - 6 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.1

$16 x^{3}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) - 6 x}$

चरण 20.4.2

$- 6 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)}$

चरण 20.4.3

$2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

चरण 20.5

$24 x^{2} - 3$ को $\frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$ से गुणा करें.

$\frac{24 x^{2} - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

चरण 20.6

$24 x^{2} - 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.6.1

$24 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (8 x^{2}) - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

चरण 20.6.2

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

चरण 20.6.3

$3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (8 x^{2} - 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$