कैलकुलस उदाहरण

$\log_{5} (\sqrt{3 x + 5})$

चरण 1

$\sqrt{3 x + 5}$ को ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log_{5} (x)$ और $g (x) = {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\log_{5} (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ है.

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 3 x + 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x + 5$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x + 5$ से बदलें.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

चरण 11

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} ({(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

चरण 12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

चरण 13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

चरण 13.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

चरण 14

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

चरण 14.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

चरण 15

सरल करें.

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

चरण 16

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 17

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 18

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 19

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (3 + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 20

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (3 + 0)$

चरण 21

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} \cdot 3$

चरण 21.2

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2 (3 x + 5) \ln (5)}$

चरण 22

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3}{(2 (3 x) + 2 \cdot 5) \ln (5)}$

चरण 22.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3}{2 (3 x) \ln (5) + 2 \cdot 5 \ln (5)}$

चरण 22.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3}{6 x \ln (5) + 2 \cdot 5 \ln (5)}$

चरण 22.3.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{3}{6 x \ln (5) + 10 \ln (5)}$