कैलकुलस उदाहरण

$\log_{2} (e^{- x} \cos (π x))$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log_{2} (x)$ और $g (x) = e^{- x} \cos (π x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{- x} \cos (π x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\log_{2} (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ है.

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{- x} \cos (π x)$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{- x}$ और $g (x) = \cos (π x)$ है.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = π x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $π x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 4.3

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ $a^{u_{3}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 5.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

चरण 6.2

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

चरण 6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \cdot - 1))$

चरण 6.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

चरण 6.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- e^{- x}))$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π)) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

चरण 7.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{- x}$ और $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- \sin (π x) π) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

चरण 7.2.2

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ और $\sin (π x)$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} π + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

चरण 7.2.3

$π$ और $\frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ को मिलाएं.

$- \frac{π (e^{- x} \sin (π x))}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

चरण 7.2.4

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{π e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

चरण 7.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

चरण 7.2.5

$\cos (π x)$ और $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ को मिलाएं.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- e^{- x})$

चरण 7.2.6

$\frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ और $e^{- x}$ को मिलाएं.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

चरण 7.2.7

$\cos (π x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

चरण 7.2.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

चरण 7.2.8

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

चरण 7.2.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$

चरण 7.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

अलग-अलग भिन्न

$- (\frac{π}{\ln (2)} \cdot \frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}) - \frac{1}{\ln (2)}$

चरण 7.3.2

$\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$ को $\tan (π x)$ में बदलें.

$- (\frac{π}{\ln (2)} \tan (π x)) - \frac{1}{\ln (2)}$

चरण 7.3.3

$\frac{π}{\ln (2)}$ और $\tan (π x)$ को मिलाएं.

$- \frac{π \tan (π x)}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$