कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{3 x^{2} + 12 x + 18}$

चरण 1

$\sqrt{3 x^{2} + 12 x + 18}$ को ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 3 x^{2} + 12 x + 18$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x^{2} + 12 x + 18$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x^{2} + 12 x + 18$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

चरण 8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} + 12 x + 18$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18]$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

चरण 9

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

चरण 10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

चरण 11

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

चरण 12

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

चरण 13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

चरण 14

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 + \frac{d}{d x} [18])$

चरण 15

चूंकि $x$ के संबंध में $18$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $18$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 + 0)$

चरण 16

$6 x + 12$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12)$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(6 x + 12) \frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.2

$6 x + 12$ को $\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{6 x + 12}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.3

$6 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x) + 12}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.4

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 6}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.5

$2 (3 x) + 2 (6)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.6.1

$2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 ({(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 17.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 x + 6}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.7

$3 x + 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.7.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x) + 6}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.7.2

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.7.3

$3 x + 3 \cdot 2$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x + 2)}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$