कैलकुलस उदाहरण

$5 x^{4} + 20 x^{3}$

चरण 1

$5 x^{4} + 20 x^{3}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{4} + 20 x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{4}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

चरण 2.1.2.3

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $20$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $20 x^{3}$ का व्युत्पन्न $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

चरण 2.1.3.3

$3$ को $20$ से गुणा करें.

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $20 x^{3} + 60 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

चरण 2.2.2.2

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

चरण 2.2.2.3

$3$ को $20$ से गुणा करें.

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $60$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $60 x^{2}$ का व्युत्पन्न $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

चरण 2.2.3.3

$2$ को $60$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $60 x^{2} + 120 x$ है.

$60 x^{2} + 120 x$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $60 x^{2} + 120 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$60 x^{2} + 120 x = 0$

चरण 3.2

$60 x^{2} + 120 x$ में से $60 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$60 x^{2}$ में से $60 x$ का गुणनखंड करें.

$60 x (x) + 120 x = 0$

चरण 3.2.2

$120 x$ में से $60 x$ का गुणनखंड करें.

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

चरण 3.2.3

$60 x (x) + 60 x (2)$ में से $60 x$ का गुणनखंड करें.

$60 x (x + 2) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

चरण 3.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3.5

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $60 x (x + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 2$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3}$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 5 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3}$

चरण 4.1.2.1.2

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 20 {(0)}^{3}$

चरण 4.1.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 20 \cdot 0$

चरण 4.1.2.1.4

$20$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0$

चरण 4.1.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 4.2

$0$ को $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, 0)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, 0)$

चरण 4.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 2$ को $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3}$

चरण 4.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$- 2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = 5 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3}$

चरण 4.3.2.1.2

$5$ को $16$ से गुणा करें.

$f (- 2) = 80 + 20 {(- 2)}^{3}$

चरण 4.3.2.1.3

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = 80 + 20 \cdot - 8$

चरण 4.3.2.1.4

$20$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f (- 2) = 80 - 160$

चरण 4.3.2.2

$80$ में से $160$ घटाएं.

$f (- 2) = - 80$

चरण 4.3.2.3

अंतिम उत्तर $- 80$ है.

$- 80$

चरण 4.4

$- 2$ को $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 2, - 80)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 2, - 80)$

चरण 4.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2.1$ से बदलें.

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

चरण 6.2.1.2

$60$ को $4.41$ से गुणा करें.

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

चरण 6.2.1.3

$120$ को $- 2.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

चरण 6.2.2

$264.6$ में से $252$ घटाएं.

$f'' (- 2.1) = 12.6$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $12.6$ है.

$12.6$

चरण 6.3

$- 2.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $12.6$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 2, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

चरण 7.2.1.2

$60$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

चरण 7.2.1.3

$120$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = 60 - 120$

चरण 7.2.2

$60$ में से $120$ घटाएं.

$f'' (- 1) = - 60$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 60$ है.

$- 60$

चरण 7.3

$- 1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 60$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- 2, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- 2, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.1$ से बदलें.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$0.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

चरण 8.2.1.2

$60$ को $0.01$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

चरण 8.2.1.3

$120$ को $0.1$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

चरण 8.2.2

$0.6$ और $12$ जोड़ें.

$f'' (0.1) = 12.6$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $12.6$ है.

$12.6$

चरण 8.3

$0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $12.6$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को प्लस से माइनस या माइनस से प्लस में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- 2, - 80), (0, 0)$ हैं.

$(- 2, - 80), (0, 0)$

चरण 10