कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = t x$ है.

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चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $t x$ के रूप में सेट करें.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $t x$ से बदलें.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

चरण 2.2

चूंकि $t$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $t x$ का व्युत्पन्न $t \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

चरण 2.4

$t$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x))]$

चरण 3.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x^{1}))]$

चरण 3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{1 + 1})]$

चरण 3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{2})]$

चरण 3.5

चूंकि $3 t$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 t x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t (2 x)$

चरण 3.7

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 6 t x$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

उत्पाद नियम को $t x$ पर लागू करें.

$3 x^{2} + 3 (t^{2} x^{2}) t + 6 t x$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.2.1

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 x^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) x^{2} + 6 t x$

चरण 4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 x^{2} + 3 t^{1 + 2} x^{2} + 6 t x$

चरण 4.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 3 t^{3} x^{2} + 6 t x$