कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} \sin (π x)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (π x)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = π x$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $π x$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]) + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]) + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$x^{2} (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{2} (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} (\cos (π x) (π \cdot 1)) + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.3

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} (\cos (π x) π) + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (\cos (π x) π) + \sin (π x) (2 x)$

चरण 3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$π x^{2} \cos (π x) + 2 x \sin (π x)$