कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (2 x - 1) (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 2 x - 1$ और $g (x) = \ln (5 x + 1) + x^{2}$ है.

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1) + x^{2}] + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 5 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$(2 x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$(2 x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x + 1$ से बदलें.

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 4.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 4.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 4.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 4.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$5$ और $0$ जोड़ें.

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 4.6.2

$\frac{1}{5 x + 1}$ और $5$ को मिलाएं.

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 4.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + 2 x) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 5

$2 x$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ से गुणा करें.

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{2 x (5 x + 1)}{5 x + 1}) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 8

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 9

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 10

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 11

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + 0)$

चरण 12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \cdot 2$

चरण 12.2

$2$ को $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + 2 \cdot (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

चरण 13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

चरण 13.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x \cdot x + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

चरण 13.3.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

चरण 13.3.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

चरण 13.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{1 + 1} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

चरण 13.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

चरण 13.3.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

चरण 13.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x^{2} + (2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1)$