कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = \sqrt{\cos (3 t)}$

चरण 1

$\sqrt{\cos (3 t)}$ को ${\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d t} [{\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ और $g (t) = \cos (3 t)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos (3 t)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos (3 t)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ और ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

चरण 8

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cos (t)$ और $g (t) = 3 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

चरण 8.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

चरण 8.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 t$ से बदलें.

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

चरण 9

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ और $\sin (3 t)$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

चरण 9.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

चरण 9.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9.3.2

$- 3$ और $\frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

चरण 9.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$