कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 4 x^{2} - 8 x + 8$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

चरण 2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} - 8 x + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ है.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 3.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 3.4

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 3.5

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 3.7

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + 0)$

चरण 3.9

$8 x - 8$ और $0$ जोड़ें.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) + e^{x} \cdot - 8$

चरण 4.3

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.3.1

$- 8$ को $e^{x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) - 8 \cdot e^{x}$

चरण 4.3.2

$- 8 x e^{x}$ और $e^{x} (8 x)$ जोड़ें.

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चरण 4.3.2.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 x e^{x} + 8 x e^{x} - 8 e^{x}$

चरण 4.3.2.2

$- 8 x e^{x}$ और $8 x e^{x}$ जोड़ें.

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} + 0 - 8 e^{x}$

चरण 4.3.3

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 e^{x}$

चरण 4.3.4

$8 e^{x}$ में से $8 e^{x}$ घटाएं.

$4 x^{2} e^{x} + 0$

चरण 4.3.5

$4 x^{2} e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$4 x^{2} e^{x}$

चरण 4.4

$4 x^{2} e^{x}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$4 e^{x} x^{2}$

चरण 4.5

गुणनखंडों को $4 e^{x} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$4 x^{2} e^{x}$