कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {\cos (7 x)}^{x}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

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चरण 1.1

${\cos (7 x)}^{x}$ को $e^{\ln ({\cos (7 x)}^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (7 x)}^{x})}]$

चरण 1.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({\cos (7 x)}^{x})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (7 x))}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x \ln (\cos (7 x))$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x \ln (\cos (7 x))$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (7 x))]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (7 x))]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x \ln (\cos (7 x))$ से बदलें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (7 x))]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (\cos (7 x))$ है.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (7 x))] + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \cos (7 x)$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\cos (7 x)$ के रूप में सेट करें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (7 x)$ से बदलें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\frac{1}{\cos (7 x)} \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5

$\frac{1}{\cos (7 x)}$ को $\sec (7 x)$ में बदलें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 7 x$ है.

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चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $7 x$ के रूप में सेट करें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6.2

$u_{3}$ के संबंध में $\cos (u_{3})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{3})$ है.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $7 x$ से बदलें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7

अवकलन करें.

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चरण 7.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.2

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.4

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x))) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.5

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x))) + \ln (\cos (7 x)) \cdot 1)$

चरण 7.6

$\ln (\cos (7 x))$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x))) + \ln (\cos (7 x)))$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x)))) + e^{x \ln (\cos (7 x))} \ln (\cos (7 x))$

चरण 8.2

कोष्ठक हटा दें.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} x \sec (7 x) (- 7 \sin (7 x)) + e^{x \ln (\cos (7 x))} \ln (\cos (7 x))$

चरण 8.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 7 e^{x \ln (\cos (7 x))} x \sec (7 x) \sin (7 x) + e^{x \ln (\cos (7 x))} \ln (\cos (7 x))$