कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- \frac{1}{x^{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- \frac{1}{x^{2}}$ से बदलें.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ है.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

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चरण 3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.4

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + 0)$

चरण 3.6.2

$2 x^{- 3}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3})$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 \frac{1}{x^{3}})$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.2.1

$2$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{2}{x^{3}}$

चरण 4.2.2

$e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ और $\frac{2}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{- \frac{1}{x^{2}}} \cdot 2}{x^{3}}$

चरण 4.2.3

$2$ को $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$