कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 3 x - 4$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.6.2

$3$ को $x^{2} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.10.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.3

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.4

$- 2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$3 x^{2}$ में से $6 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 3 x^{2} + 8 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 3 \cdot 3 = - 9$ है और जिसका योग $b = 8$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

$8 x$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 3 x^{2} + 8 (x) + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.1.2

$8$ को $- 1$ जोड़ $9$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 9) x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- 3 x - 1) - 3 (- 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.3

महत्तम समापवर्तक, $- 3 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.7

$- 3 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.8

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.9

$- (3 x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.10

$- (3 x + 1)$ को $- 1 (3 x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$