कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 \sin (x) + 3 x^{x}$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 \sin (x) + 3 x^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{x}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$ है.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$

चरण 3.2

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x^{x}$ को $e^{\ln (x^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

चरण 3.2.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{x})$ का प्रसार करें.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$4 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

चरण 3.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$4 \cos (x) + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x \ln (x)$ से बदलें.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

चरण 3.4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 3.5

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

चरण 3.7

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

चरण 3.8

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

चरण 3.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

चरण 3.9

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} \cdot 1 + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 4.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 4 \cos (x)$