कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.5

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.7

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.8

चूंकि $189$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $189 x$ का व्युत्पन्न $189 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.10

$189$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.11

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + 0)$

चरण 2.12

$- 3 x^{2} + 6 x + 189$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(- 3 x^{2} + 6 x + 189) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.2

$- 3 x^{2} + 6 x + 189$ को $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 3.3.1

$- 3 x^{2} + 6 x + 189$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

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चरण 3.3.1.1

$- 3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.1.2

$6 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.1.3

$189$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.1.4

$3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.1.5

$3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 3.3.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 63 = - 63$ है और जिसका योग $b = 2$ है.

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चरण 3.3.2.1.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.2.1.2

$2$ को $- 7$ जोड़ $9$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{3 (- x^{2} + (- 7 + 9) x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (- x^{2} - 7 x + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

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चरण 3.3.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{3 ((- x^{2} - 7 x) + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x (- x - 7) - 9 (- x - 7))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.3.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- x - 7$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{3 ((- x - 7) (x - 9))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.4

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- (x) - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.5

$- 7$ को $- 1 (7)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- (x) - 1 (7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.6

$- (x) - 1 (7)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.7

$- (x + 7)$ को $- 1 (x + 7)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.8

$- x^{3}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

चरण 3.9

$3 x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

चरण 3.10

$- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

चरण 3.11

$189 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x) + 1}$

चरण 3.12

$- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) + 1}$

चरण 3.13

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)}$

चरण 3.14

$- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

चरण 3.15

$- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ को $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

चरण 3.16

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

चरण 3.17

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 (x + 7) (x - 9)}{x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1}$