कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

चरण 1

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

चरण 3.2

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{y + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

चरण 3.2.2

$- 2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

चरण 3.2.3

$- 2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

चरण 3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

चरण 3.2.5

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

चरण 3.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

चरण 3.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

चरण 3.4.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

चरण 3.5

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

चरण 3.6

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

चरण 3.7

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$y + 1$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{y + 1})$ का प्रसार करें.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

चरण 3.7.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

चरण 3.7.3

$y + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

चरण 3.8

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ , $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

चरण 5.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{x + 1}$ को मिलाएं.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

चरण 5.2.3.1.2

$- 2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

चरण 5.2.3.1.3

$- 2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

चरण 5.2.3.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

चरण 5.2.3.1.5

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

चरण 5.2.3.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

चरण 5.2.3.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

चरण 5.2.3.2

$e^{x + 1} - 4 + 4$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

$- 4$ और $4$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

चरण 5.2.3.2.2

$e^{x + 1}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

चरण 5.2.3.3

$x + 1$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

चरण 5.2.3.4

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

चरण 5.2.3.5

$x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

चरण 5.2.4

$x + 1 - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

चरण 5.2.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ का मान ज्ञात करें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

चरण 5.3.3

$\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

चरण 5.3.3.2

$\ln (2 x + 4)$ और $0$ जोड़ें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

चरण 5.3.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

चरण 5.3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

चरण 5.3.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.3.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

चरण 5.3.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

चरण 5.3.4.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

चरण 5.3.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

चरण 5.3.4.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

चरण 5.3.4.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

चरण 5.3.5

$x + 2 - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

चरण 5.3.5.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ , $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$