कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

चरण 1

न्यूमेरेटर को युक्तिसंगत बनाने के लिए गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

FOIL विधि का उपयोग करके न्यूमेरेटर का विस्तार करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{4}$ में से $x^{4}$ घटाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

चरण 2.2.2

$- 5 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{4} - 5 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

$x^{4}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

चरण 3.1.1.2

$- 5 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

चरण 3.1.1.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

चरण 3.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

चरण 3.2

$- 5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

चरण 4

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x^{2}$ है.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

चरण 5.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

चरण 5.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

चरण 5.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

चरण 5.5

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 6

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $\sqrt{x^{2}} = x$ है.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7.4

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7.5

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7.6

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7.7

$5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 8

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 9

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 9.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

चरण 9.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

चरण 9.3.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$- 5$ को $0$ से गुणा करें.

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

चरण 9.3.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

चरण 9.3.2.3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

चरण 9.3.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 5 (\frac{1}{2})$

चरण 9.3.3

$- 5$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 5}{2}$

चरण 9.3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{5}{2}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{5}{2}$

दशमलव रूप:

$- 2.5$