कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} \cos (2 x)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \cos (2 x)$ है.

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$x^{3} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{3} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{3} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{3} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{3} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$x^{3} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 x^{2})$

चरण 3.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 x^{3} \sin (2 x) + 3 x^{2} \cos (2 x)$