कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

चरण 1

$\sqrt{2 - x^{2}}$ को ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3

घातांक को ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 - x^{2})}^{1}}$

चरण 4

सरल करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{2 - x^{2}}$

चरण 5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{2 - x^{2}}$

चरण 5.2

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{2 - x^{2}}$

चरण 6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 2 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 6.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 11.2

$\frac{1}{2}$ और ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 11.4

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{2 - x^{2}}$

चरण 12

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 13

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 14

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{2 - x^{2}}$

चरण 15

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{2 - x^{2}}$

चरण 16

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{2 - x^{2}}$

चरण 16.2

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{2 - x^{2}}$

चरण 17

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{2 - x^{2}}$

चरण 18

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$2$ और $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{2 - x^{2}}$

चरण 18.2

$\frac{2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 19

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x^{1} x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 20

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 21

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 22

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 23

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 24

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 25

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 26

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 27

घातांक जोड़कर ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 27.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 27.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 27.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{1} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 28

${(2 - x^{2})}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{\frac{2 - x^{2} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 29

$- x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2 + 0}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 30

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

चरण 31

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$ को फिर से लिखें.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 - x^{2}}$

चरण 32

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{2 - x^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 - x^{2})}$

चरण 33

घातांक जोड़कर ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को $2 - x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 33.1

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को $2 - x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 33.1.1

$2 - x^{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{1}}$

चरण 33.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

चरण 33.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

चरण 33.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

चरण 33.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 34

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$