कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x - y}}$

चरण 1

$\sqrt{x - y}$ को ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3

घातांक को ${({(x - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{1}}$

चरण 4

सरल करें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

चरण 5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

चरण 5.2

${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

चरण 6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 6.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - y$ से बदलें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 11.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

चरण 11.4

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y]}{x - y}$

चरण 12

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{x - y}$

चरण 13

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{x - y}$

चरण 14

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - y}$

चरण 15

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - y}$

चरण 15.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 16

${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 17

${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 19

घातांक जोड़कर ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 19.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 19.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 19.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 19.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 20

${(x - y)}^{1} \cdot 2$ को सरल करें.

$\frac{\frac{(x - y) \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 21

$2$ को $x - y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{2 \cdot (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

चरण 22

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$ को फिर से लिखें.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - y}$

चरण 23

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{x - y}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}} (x - y)}$

चरण 24

$x - y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 25

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

चरण 26

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

चरण 27

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

चरण 28

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 29

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 29.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x + 2 (- y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 29.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 29.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x - 2 y - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 29.2.2

$2 x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{x - 2 y}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$