कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{t - 5}{t^{2} + 10 t + 25}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = t - 5$ और $g (t) = t^{2} + 10 t + 25$ है.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [t - 5] - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ है.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.3

चूंकि $t$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + 0) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \cdot 1 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.4.2

$t^{2} + 10 t + 25$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.5

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{2} + 10 t + 25$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ है.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.7

चूंकि $10$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $10 t$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.8

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.9

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.10

चूंकि $t$ के संबंध में $25$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $25$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + 0)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 2.11

$2 t + 10$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t - - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$- 1$ को $- 5$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t + 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(- t + 5) (2 t + 10)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t + 10) + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t \cdot t - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.3.1.2

घातांक जोड़कर $t$ को $t$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.3.1.2.1

$t$ ले जाएं.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.3.1.2.2

$t$ को $t$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.3.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.3.1.4

$10$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.3.1.5

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.3.1.6

$5$ को $10$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.3.2

$- 10 t$ और $10 t$ जोड़ें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 0 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.1.3.3

$- 2 t^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.2

$t^{2}$ में से $2 t^{2}$ घटाएं.

$\frac{- t^{2} + 10 t + 25 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.2.3

$25$ और $50$ जोड़ें.

$\frac{- t^{2} + 10 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.3

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 75 = - 75$ है और जिसका योग $b = 10$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$10 t$ में से $10$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- t^{2} + 10 (t) + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2

$10$ को $- 5$ जोड़ $15$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{- t^{2} + (- 5 + 15) t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- t^{2} - 5 t + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{(- t^{2} - 5 t) + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.3.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{t (- t - 5) - 15 (- t - 5)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.3.3

महत्तम समापवर्तक, $- t - 5$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

चरण 3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 5^{2})}^{2}}$

चरण 3.4.1.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$10 t = 2 \cdot t \cdot 5$

चरण 3.4.1.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 2 \cdot t \cdot 5 + 5^{2})}^{2}}$

चरण 3.4.1.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = t$ और $b = 5$ है.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

चरण 3.4.2

घातांक को ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

चरण 3.4.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

चरण 3.4.3

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 t^{3} \cdot 5 + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

चरण 3.4.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$5$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

चरण 3.4.4.2

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 25 + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

चरण 3.4.4.3

$25$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

चरण 3.4.4.4

$5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 125 + 5^{4}}$

चरण 3.4.4.5

$125$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 5^{4}}$

चरण 3.4.4.6

$5$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 625}$

चरण 3.4.5

प्रत्येक पद को द्विपद प्रमेय सूत्र के पदों से सुमेलित करें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}}$

चरण 3.4.6

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

चरण 3.5

$- t - 5$ और ${(t + 5)}^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- t$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(- (t) - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

चरण 3.5.2

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(- (t) - 1 (5)) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

चरण 3.5.3

$- (t) - 1 (5)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

चरण 3.5.4

$- (t + 5)$ को $- 1 (t + 5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

चरण 3.5.5

$- 1 (t + 5) (t - 15)$ में से $t + 5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{{(t + 5)}^{4}}$

चरण 3.5.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1

${(t + 5)}^{4}$ में से $t + 5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

चरण 3.5.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

चरण 3.5.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (t - 15)}{{(t + 5)}^{3}}$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{t - 15}{{(t + 5)}^{3}}$